整数論と関連分野の研究

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重要な保型形式のひとつであるエータ関数のモジュラー変換公式に現われる乗法因子の本質的部分はデデキント和と呼ばれるものによって表示することができる。他方デデキント和は2変数または既約分数を変換とする数論関数として帰納的かつ純算術的に構成することも可能である。このように定義される関数をD関数、およびその一般化をDe関数という。これらはその単純な定義にも拘らず複雑かつ豊富な数論的性質を持つことが知られてきている。本研究ではその一端としてラデマッハ対の問題を再びとりあげた。隣接ファーレイ分数は、それぞれにおいてD関数の値が正でありかつ中間分数において負値となるとき、それをラデマッハ対と呼ばれる。D関数の値が正であるような任意の既約分数に対してそれを右分数とするラデマッハ対の存在するための必要十分条件は、逆分数におけるD関数の値が零でないことであるが、今回の研究によって、そのときのラデマッハ対、従って左分数の具体的な形をより簡明かつ完全な公式として与えることができた。さらにDe関数についても同様の議論ができるのである。これらの結果は一見派生的なものに見えるのであるが、本質的にエータ関数およびその乗法因子は数論研究にとって最も基本的なもののひとつであり、それらとの密接な関連においてこれらの問題を扱うことの意義と重要性が理解されるのである。本研究に先立つ部分は既に一部発表したところであるが、最新の結果については引続く論文として現在準備中の段階である。本研究の関連分野の研究として、各分担者たちにより、微分の延長に関する研究、加群の自己準同型環の研究、およびその他の研究が実行されそれぞれの成果が得られたが、その詳細は割愛させて頂く。その一端については、発表論文を参照されたい。