整数論と関連分野の研究

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1.代表者を中心として、デデキント和の数論的研究を実行し、とくに一般D-関数の理論の充実と体系化を進めた。今年度における具体的な成果としてはつぎのような進展があった。D-関数の分母の問題、つまり、値wに対してD(h,k)=wとなるようなkを求める問題について満足すべき解明がなされた。すなわち、kがwに対する分母となるための必要条件はkが判別式w^2-1の不定値整係数2元2次形式でD-class(この条件はRademacherの不変量で述べられる)に属するものの原始的正整値となることである。これにより最小分母の問題は上記2次形式の分類とその最小値の問題に帰着した。ただし最小分母の一般的な評価についてはMinkowskiの評価を用いても高々2k<w程度しか得られず従来のわれわれの降下法による結果を超えられないようである。一方、h,kしたがってwが多項式となる場合のD-関数についての研究もいくらかの進展を見たが、そのうち上記の問題との関連で云えば次数nの多項式wに対しては最小分母kの次数がn-1となる例をいくつか構成することができた。これは最小分母の評価についてΩ型ではあるが強い結果を示したことになっている。以上についてはパソコンによる実験計算も極めて有効に用いられた。そのほか、楕円的デデキント和の高次元化についても若干の見通しを得ることができた。これらについては引き続き理論の充実を図るとともに、一部については発表を現在準備中である。2.上記とは別に、各研究分担者は独自の立場からそれぞれ分担課題に即して研究を行い多くの成果を挙げることができた。その詳細は割愛するが、準備段階からのものを含めて今年度に論文発表された成果については別記した通りである。