Riemann面上のtheta関数(特に一般化されたtheta関数)

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種数gが2以上の閉Riemann面Wに対する一般化されたtheta関数は次数が2g-1以上の次数一定の正因子全体が自然にWのJacobi多様体J(W)上のg-1次元射影束になるという事実に基づいて定義される. これはGunringによって1973年に行なわれたがより一般的には射影代数多様体上にある種の正条件をみたすeffectiveな因子のホモロジー類がPicard多様体上の射影束によってパラメーターを入れられるという形でtheta関数の議論とは独立にKodairaによって1956年に行われている. R.B.Magruderは1977年にKodairaの仕事をとりあげ, Pccard多様体上のこのような射影束をKodaira束となづけ, Y.Matsushiwaのトーラスの格子群に附随するHeisen-berg群のSchrodinger表現から生じるベクトル束の特徴づけを用いて, Abel多様体に対するKodaira束の座標変換関数を見出した. 実際には, Riemann面に対する一般化されたtheta関数を通常のtheta関数で表わす問題でも, Jacobi多様体の格子(周期)に附随するHeisenberg群の表現から生じるベクトル束が出現し, 興味深い. これらとの関連から, 我々はRiemann面上のベクトル束に対してもHeisenberg群と類似の群を見出し, その表現から生じるベクトル束の特徴づけを行うことは興味あることと考え, 次のことを行った.(1)W上の正規被覆面の被覆変換群Gの射影表現から生じるベクトル束の特徴づけ(2)特に基本群の被覆変換群の射影表現から生じるベクトル束の具体的決定(3)Wのホモロジー群の射影表現から生じる単純ベクトル束の直線束への分解を与える被覆面の存在の証明