場の理論における数学的構造の解明

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研究実施計画に従い研究分担者は各地で開催された研究集会に講演者や討論者として参加し次の諸成果を得た:剱持はコラ-レス氏との共同研究で3次元ユウクリッド空間内の曲面のボンネ変換を調べ、曲面が平均曲率を保存しながら等長的に変形できるための必要十分条件を得た。特にガウス曲率が一定の場合のそのような変換を完全に決定した。次に剱持はボンネ変換を許容する曲面(=Hー変形可能曲面)のリ-マン計量の特徴付けを研究し或る特別な非線形微分方程式を発見した。その応用としてHー変形可能曲面の一般的な構成方法を見つけた。またこの研究により自明でないワインガルテン曲面が或る非線形の常微分方程式の解から構成されることもわかった。押切は余次元1の葉層構造と平均曲率の間の関係を詳しく調べ次の結果を得た:余次元1葉層Fが多様体M上に与えられているとき、M上のどんな関数がそのFの平均曲率関数になり得るかを特徴ずけ、その応用として定平均曲率葉層にできるものの位相的特徴付けを与えた。陶山は、幾何学的測度論を用いて次の結果を得た。コンパクトな多様体Mと、Mより1次元高いもう1つのコンパクトなリ-マン多様体との間に、MからNへの連続写像fが与えられているとする。このとき、MからNへのfとホモトピ-同値な写像の全体の中に、Nの中でMの像の面積を最小にするような写像Fが、常に存在することを示した。そして、その写像Fの正則性についても研究した。