非線型放物型方程式系及び関連する楕円型方程式系の解析

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当研究課題に関する今年度の研究成果は、半線型放物型方程式に対する結果と準線型放物型方程式に対する結果の二つに大別される。1.半線型放物型方程式の研究:研究の中心テーマにした反応拡散方程式系に関するものと流体問題に関するものについて述べる。(1)反応拡散方程式系、2個の未知関数が相互作用を及ぼし合う反応拡散方程式系を考える。解の大域的存在、一意性、正則性についてはよく知られているから、重要な問題となるのは、時間変数が無限に大きくなったときの解の漸近挙動と、関連する定常問題の解の安定性である。比較原理、スペクトル解析、分岐理論をうまく組合せることによって、解の漸近挙動が非常に詳しく理解されるようになり、既存の結果も整理統合された。この結果より、適当な物理量をパラメーターにとると、定常解の分岐や安定性の交代の様子が、分岐図のなかにきれいに描くことができる。特に、難問であった2重固有値からの分岐についても興味ある結果が得られた。(2)流体問題。熱対流の方程式を考え、初期値が滑らかでないとき、如何にして解を求めるか、また如何にして大域解を構成するかを調べた。方法は、抽象的発展方程式の枠組に問題を改め、種々の空間における基本解評価と非線型項評価を組合せることである。特に、時間変数が小さいときや大きいときの解の評価は興味ある結果だと思われる。まだ、不十分な点も多いから、今後の解析の余地は大きい。2.準線型放物型方程式:P-ラプラシアンに爆発項が加わった方程式を考える。指数が適当な関係をみたすとき、大域解の存在が保証されること、或いは、解が有限時間で消滅することなどが示された。このような退化型の方程式の研究は波動方程式についても行ない、大域解の存在条件を導いた。