Numerisches Hartree-Fock

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Die Finite Elemente Methode ist inzwischen soweit auf elektronische Systeme der Atom- und Molekülphysik angepasst, dass nicht-relativistische und relativistische einteilchenartige Beschreibungen (Schrödinger- und Diracgleichung, Hartee- und Dirac-Fock, Dichtefunktionale) in axialer Symmetrie hochgenau (bis 10-10) gelingen. Nicht befriedigen kann der eingeschränkte Anwendungsbereich sowie der mit Ausnahme nicht-relativistischer Dichtefunktionalanwendung (NRDF) relativ hohe Computeraufwand bei Speicher- und Rechenzeitbedarf. Bei NRDF gelang allerdings eine Effizienzsteigerung um Größenordnungen mittels (linearer) Mehrgittergleichungen (FEM-MG). Und eine weitere Größenordnung dürfte sich durch das nicht-lineare Full Multi-Grid (FMG) gewinnen lassen. Zu der Benchmarkfunktion, die FEM-Berechnungen seit geraumer Zeit übernehmen, ist NRDF schon für normale Genauigkeiten gut geeignet, da der Aufwand bei molekularen Anwendungen den von Basismethoden bereits unterschreitet und es als voll-numerisches Verfahren sehr flexibel ist. Gleiches würde man gerne bei numerischen Hartree-Fock (NHF) erreichen, haben doch eine Reihe von Vergleichen zu Basissatzrechnungen, nicht zuletzt unserer Finite Elemente Dirac-Fock Ergebnisse, unerwartet große Basisfehler aufgezeigt. Zuverlässige Hartree-Fock Limits sind aber in vielerlei Hinsicht wichtig. Ein Vergleich der Skalierung des Lösungsaufwandes von NRDF (mit FEM-MG) und NHF mit der Stützpunktzahl N und Elektronenzahl ne zeigt die Bedeutung von FEM-MG: während dieses mit N x ne skaliert, geht NHF mit (N x ne)2. Bei Einsatz einer Mehrgittertechnik wäre der Aufwand erheblich geringer von der Ordnung N x ne2. Eine numerische Hartree-Fock Mehrgittertechnik (NHF-MG) ist "nur" noch umzusetzen; leider mit hohem Programmieraufwand, obwohl wir bei NRDF das FEM-MG bereits für zahlreiche molekulare Berechnungen nutzen. Dennoch erscheint NHF-MG ein lohnendes Ziel, dürften sich gegenwärtige Ausführungszeiten von NHF damit um Größenordnungen verringern, mit entsprechender Ausweitung des Anwendungsbereiches auf größere Moleküle.