ある種の複素射影構造をもつ複素多様体について.

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今年度は一般に複素多様体の特性類について特に複素射影構造との関連において考察した.一般にprojective Weyl curvature tensorによって決まる特性類とChern類との間には単純な関係式が成立している.複素多様体が複素射影構造を許すか,Kaehlerで複素射影接続を許せば,その関係式はChern類の間の関係式を与える.しかし,そうでなくても同一の関係式が成立することがあって,それは我々が以前構成したClass Lの多様体の系列(Tokyo J.Math.5(1982),341ー364,Tokyo J.Math.9(1986),1ー28)の中にも見つけられる.これは複素2元元ではみられなかった現象であった.この現象を説明するために我々はlogarithmic projective connectionを定義した.これによってなぜ上記の系列の多様体にはあたかも複素射影構造を許すかのような Chern類の間の関係式が成立してのかが説明された.またChern類の関係だけから,複素射影接続の存在を望むのは無理のあることが理解できた.一方,conformal Weyl curvature tensorによって決まる特性類とChern類との間にも同様な関係式が成立していると思われ,現在その関係式を求めるための計算を進めているところである.最近F.Cataneseはcompact Kaehler多様体においてはそのKaehler多様体から2以上の種数を持つ compact Riemann surfaceの上への正則写像があるかないかは,与えられたKaehler多様体の位相的な条件で決まることが示された.Kaehler的でない場合は彼自身によって問題として提出されたが我々のClass Lの多様体のなかに反例が見つけられた.すなわちこの例はKaehler多様体の構造とnonーKaehler多様体の2種の複素構造を許しKaehler多様体の時は種数2以上のcompact Riemann面に上への正則写像を許すがnonーKaehler多様体の時には有理型関数を持たない.