複素多様体の解析的連結和

複素3次元射影空間内の射影直線の近傍と正則同型な領域を含む複素3次元多様体をClassLの多様体と言う。ClassLの多様体の間では、微分可能多様体の連結和と類似の操作が複素解析的に定義出来る。本年度においては、逆に与えられたcompactなClassLの多様体を、単純ないくつかのcompactなClassLの多様体に分解する方法を考察した。一般のClassLの多様体について議論するのは困難であるから、我々は、考える多様体Xを複素3次元射影空間内の単連結な領域Ωの商空間X=Γ＼Ωとして得られるものに限定した。この条件をみたす多様体の全体をClassLAと言う。ΓはΩの正則自己同型写像からなる群であるが、自然にPGL(4.C)の離散部分群となる。一般にΓが2つの群【Γ^'】と【Γ^"】との自由積に抽象群として同型であれば、ClassLAの多様体【X^'】=【Γ^'】＼【Ω^'】,【X^"】=【Γ^"】＼【Ω^"】があって、Xは【X^'】と【X^"】との『一般化された連結和』になる。我々は次の結果を得た。定理1.X=Γ＼Ωにおいて、Γが無限巡回群と、ある群【Γ^'】との自由積に抽象群として同型ならば、Xの適当な複素解析的変形は、基本群が【γ^'】と同型であるような、あるClassLAの多様体にHandle Attachmentを一度施して得られる多様体に正則同型になる。(ここでHandle Attachmentは連結和と同様に複素解析的に定義されている)。系.X=Γ＼Ωにおいて、Γがranknの自由群であればXはMgのn個の複素解析的連結和の変形である。ここでMgは、2本のねじれの位置にある射影直線を複素3次元射影空間から除いて得られる単連結な領域を普遍被覆とし、基本群が無限巡回群であるようなClassLAのcompact多様体である。この系はRiemann面におけるSchottky群に関する事実の3次元への一般化と考えられる。Ωの補集合にさらに条件を付加するとより興味深い分解定理が得られると思われる。

複素3次元射影空間内の射影直線の近傍と正則同型な領域を含む複素3次元多様体をClassLの多様体と言う。ClassLの多様体の間では、微分可能多様体の連結和と類似の操作が複素解析的に定義出来る。本年度においては、逆に与えられたcompactなClassLの多様体を、単純ないくつかのcompactなClassLの多様体に分解する方法を考察した。一般のClassLの多様体について議論するのは困難であるから、我々は、考える多様体Xを複素3次元射影空間内の単連結な領域Ωの商空間X=Γ＼Ωとして得られるものに限定した。この条件をみたす多様体の全体をClassLAと言う。ΓはΩの正則自己同型写像からなる群であるが、自然にPGL(4.C)の離散部分群となる。一般にΓが2つの群【Γ^'】と【Γ^"】との自由積に抽象群として同型であれば、ClassLAの多様体【X^'】=【Γ^'】＼【Ω^'】,【X^"】=【Γ^"】＼【Ω^"】があって、Xは【X^'】と【X^"】との『一般化された連結和』になる。我々は次の結果を得た。定理1.X=Γ＼Ωにおいて、Γが無限巡回群と、ある群【Γ^'】との自由積に抽象群として同型ならば、Xの適当な複素解析的変形は、基本群が【γ^'】と同型であるような、あるClassLAの多様体にHandle Attachmentを一度施して得られる多様体に正則同型になる。(ここでHandle Attachmentは連結和と同様に複素解析的に定義されている)。系.X=Γ＼Ωにおいて、Γがranknの自由群であればXはMgのn個の複素解析的連結和の変形である。ここでMgは、2本のねじれの位置にある射影直線を複素3次元射影空間から除いて得られる単連結な領域を普遍被覆とし、基本群が無限巡回群であるようなClassLAのcompact多様体である。この系はRiemann面におけるSchottky群に関する事実の3次元への一般化と考えられる。Ωの補集合にさらに条件を付加するとより興味深い分解定理が得られると思われる。