非線型発展方程式と無限次元力学系の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

無限次元Hamilton力学系の線型部分の系が楕円型平衝点をもつ場合の代表的な場合として、ヒルベメト空間における2階発展方程式u^^<・・>+Au=f(A:自己共役)の典型的な例である以下の方程式を研究し次の結果を得た。I)楕円型平衡点をもつHamiltonianにおいても特別な摂動の下では解は迷走解になる。具体的には次の2つの結果を得た。(Iー1)線型一次元波動方程式 (α^2_tーα^2_x)u=f(x,t)(Iー2)線型方程式 (α^2_t+(一1) ^pα^<2p>_x)u=f(x_1t) (P:自然数)初期値境界値問題を考察した。但、(Iー1)のfは時間準周期的、(Iー2)のfは時間周期的とする。このとき、解が任意の初期値に対して非有界となる為の強制項fのクラスを構成した。(Iー1)についての結果より、半線型の場合(α^2_tーα^2_x)u=f(x_1t)+g(u)はg≧はg(u)≧Oのとき、すべての解は非有界となる(徐って周期解は存在しない)という興味ある結果が得られた。この結果を示す為の骨子は:(iー1)解析的数論の様々な結果を用いてfの準周期を構成する((Iー1)の場合)(iー2)連分数も用いてfの周期を構成する(Iー2)の場合)(ii)上の(iー1)(又は(iー2))における準周期(周期)の数論的性質を用いて適当に減衰するFourier系数をもつLacunary Fourier級数によってfを構成する。II)2階半線型発展方程式 u^^<・・>+Au=F(t_1u)(A:自己共役、F:時間周期的)が時間周期解をもつ条件が得られた:Aの固有値の列とFの周期の間にDiophantus近似に基づく簡明な不等式が成立すれば、常套の仮定:Fのuに関する局所Lipschitz性の下で、方程式は周期解をもつ。これより、具体的な方程式.例えば2次元、3次元半線型波動方程式やExtensible Beamの方程式が周期解をもつための周期に関する興味がある条件及びその具体例が得られる。