NavierーStokes方程式の研究

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NavierーStokes方程式は、非圧縮性粘性流体の運動を記述している方程式で非線形偏微分程式系をなしている。最も興味深いとされている未解決に問題は(1)3次元空間の領域における初期値問題の大域解が一意に存在するか?(2)無限時間存在し続けているweak sobutionの正則性はどうか?(3)十分時間が経った時の解の挙動および解の周期性について等である。しかしながら導関数を含む非線形項がある事、連立系になっている事等により上記テ-マの完全な解決には長い期間を要するであろうと言われている。このような状況の中でNavierーStokes方程式が放物型の方程式の研究と深く結びついている事に注目して次のような研究を行った。Aをsummetric umiformly elliptic opbatonとし、g(u)をnonlineal termとする問題(ΩCR^N:bouvdod)P.I.:Au+ut+g(u)=f(x,t),u(x,t+ω)=u(x,t) on Ω×R^1,Du^^MlaΩ=0(境界条件)と平行してsemiーlinean wave eguation :P.II.u^<tt>+Au+ut+g(u)=f(x,t),u(x,t+ω)=u(x,t) on Ω×R^1,Du^^MlaΩ=Oに対しても十分良いregularityの研究結果を得ていたがP.II.に関しては、g(u)への仮定が強く興味のある問題:^uttー△U+Ut+U^3=f(g(u)=U^^<N=3>^3)のclassical periodic solutionの存在が未解決のまま残った。そこでP.I.をヒントとして、ε>0を十分小さく取り問題:P.II.:εu_<tt>+Au+ut+g(u)=f(x,t),u(x,t+ω)=u(x,t) on Ω×R^1,Du^^ulaΩ=0を考慮する事によりfに対して大きさの制限を加えないで(この点を強調したい)、g(u)対しては‘critical'nonlinearityの条件のもとで問題P.II^*.のweak peiodic sobutionがunigueである事、さらにclassical peiodic solutionが存在する事を証明した。NavierーStokes方程式のperiodic sobutionの研究にこの方法が適用できる時が行ると思う。分担者との討論によりこの結果を得ました。さらに分担者は独自の研究も発展させました。