複素領域の微分方程式の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

1.超幾何微分方程式:x(1-X)Y^<11>+(γ-(α+β+1)X)Y^1-2β=0はモノドロミ-表現:π_1(C-{0.1})→GL(2,C)を導く。逆に、π_1(Cー{0.1})のC^2への既約な表現は適当な超幾何微分方程式によって実現される。しかし,可約な表現に関しては事情が少しことなり、超幾何微分方程式によって実現されない可約な表現の例が知られていた。木村,島はこのような可約な表現を全て決定した。2.多様体M上の微分作用素Lは、uが超関数の意味でLu=fを満たしfが滑らか(C^∝)な所ではいつもuも滑らかになる時、準楕円型と呼ばれる。Hormanderは2階の適当な形の微分作用素に対して、それから作られるLie環ηがMのどの点でも無限小的に推移的であれば準備円型となることを示した。一方、Lu=f∈C^∝(M)ならばu∈C^∝(M)となる時、Lは大域的準楕円型と呼ばれる。(準楕円型ならば大域的準楕円型である。)2次元ト-ラス上の微分作用素:(∂/(∂X))^2+(3(X)∂/(∂Y))^2,subb3C[2/3π,4/3π]はHormanderの条件を満たさないが,大域的に準楕円型となる。このような例から、ηが生成する群がMに推移的に作用するとき大域的準楕円型になることが予想されている。大森は、この部分解として、適当なG^-主バンバル上で定義される水平ラプラシアンに対して大域的準楕円型となるための十分条件と必要条件を与えた。3.複素解析的偏微分方程式P(u)=Oに対してPが線型ならばuがある超曲面Sを除いて解析的であればSは特性曲面に限られる。しかし非線型の場合は特性助面以外にも解uは特異性をもつことがある。小林は非線型方程式の場合に適当な有界性の条件があれば実際には特異性を持たないことを示した。