自由境界問題に対する境界要素法の応用について

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度は低レイノルズ数の時の流れである次の二つの数理モデルを扱い、その研究実績以下の通りであった。i)ヘレ・ショウ流れすなわち低粘性流体が高粘性流体を押しつける時に生じる自由境界の挙動。ii)多孔性媒質中を流れる低粘性流体が吸収されながらの作る自由境界の挙動。1.i)の数理モデルは線形楕円型方程式に帰着される。この場合、A.J.Degregoria and W.Schwartz(1986)の方法に従って自由境界上の積分方程式を導き境界要素法として数値計算アルゴリズムを構成した。同時に等角写像法を用いて固定領域に帰着させる方法によるアルゴリズムをも比較のために構成した。ii)では非線形拡散方程式で表されるがその中には非線形双曲型による衝撃波が含まれていることがわかった。そのため数値計算アリゴリズムは境界要素法よりも差分法が適していることがわかった。2.i)の数値計算については、境界要素法は計算速度も速く、比較のために等角写像法による計算と比較してもフィンガリング現象を良く再現していることが得られた。但し、メッシュを非常に小さくすると行列の正則性が失われやすいことがわかった。ii)においてはかなりの計算時間を要するが自由境界は極めて精度良く再現されるがフィンガリング現象のような複雑な形状は現われなかった。メッシュを0に収束されると数値自由境界もまた収束していくことが確かめられた。このことは数学的証明としても本研究において確立された。3.結論として今後境界要素法を応用するにあたって以下の事が数学上の重要な問題点である事が得られた。(1)i)の計算において行列の正則性が失われやすいこと。(2)線形方程式での自由境界問題における境界要素法の特徴をii)で表される非線形方程式等に応用すること。