量子論に関連した結び目および次元多様体の不変量

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1SU(n)-Witten不変量に関するセミナーを関西と関東で2回行った。そのなかで、SU(n)-Witten不変量がn次サイクリックアクションで分離することが判明した。即ち、SU(n)-Witten不変量はn-Cyclotomic不変量と、ある不変量の積で表される、ということである。2いう東京大学の大槻氏との共同研究により、SU(3)-Witten不変量をLinear skein theoryから構築することに成功した。一般の1SU(n)-Witten不変量をLinear skein theoryから構築することは、今後の課題として残っている。3通常の加法、乗法のq-変形を定義し、それをもとに、電気抵抗の法則q-変形(q-インピーダンス)を定義した。さらにタングル(3-ボールの中にプロパ-に埋め込まれた2本の弧)の位相的不変量が、q-インピーダンスにより定義されることが判った。またこの不変量は、結び目のJones不変量から導かれることも判明した。また、有理タングルのq-インピーダンスはDedekind sumと関連があることも判った。4 3で述べたq-インピーダンスの応用として、空間内に埋め込まれた4次の完全グラフの,長さ4のサイクル上で分岐する被覆空間内において、グラフの残りの2辺のリフトが作るリンクの絡み数が、q-1、すなわち通常の印ピーダンスにおいて、ある電圧と電流の比として得られることが判った。