量子論に関連した結び目および三次元多様体の不変量

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(1)結び目のFinete typeのVassilev不変量について、研究をおこなった.これは、量子不変量の変数をexp hとして得られる巾級数の、各係数を含む、不変量である.全てのFinete typeのVassiliev不変量が、相等しいような、異なる結び目が存在するかどうかが大きな問題であるが,その一部として,不可逆結び目であることがVassiliev不変量で判定できないような不可逆結び目が存在するかどうかについて研究を行った.まず候補としてタイプp, q, r(すべて奇数)のpretzel結び目をあげて,計算機を用いてVassiliev不変量の計算を行った.しかし現在の時点では目的の性質を持った結び目は発見されていない.(2)グラフ理論において,数学的な証明を与えるという意味において未だに興味深い問題として,四色定理がある.これは,平面上のグラフは4彩色可能であるという定理である.この定理は1976年にAppelとHakenにより計算機を用いて膨大な計算を行うことにより証明されているが,計算機を用いない数学的な照明は与えられていない.当初の研究目的にはなかったが,この問題にも取り組んだ結果,四色定理は,ある種の双曲的3次元多様体の存在定理と,同値であることが判明した.それは,四色定理を示すには双対5連結なグラフについて示せばよいという補題と,低空間がボールである3次元orbifoldが双曲的であるための必要十分条件は,その1次元特異点集合が球面上の双対5連結はグラフであることである,というAndreevの定理を用いることにより導かれる.