量子論に関連した、結び目および三次元多様体の不変量

1.二橋結び目と呼ばれる基本的な結び目の類がある.この結び目は有理数をパラメターとして決まる.有理数を連分数展開することにより,二橋結び目のジョーンズ多項式を計算することができるが,有理数の連分数展開は一意的ではないので,有理数そのものからとジョーンズ多項式の値との関係はわかりにくい.そこで連分数展開を用いないで,二橋結び目のジョーンズ多項式を記述する方法を見いだした.これにより,ジョーンズ多項式の幾つかの性質がわかった.2.グラフ(1次元復体)を3次元空間に埋め込んでできるものを,グラフ結び目という.3正則グラフ結び目の不変量を以前定義したが,それは,多項式環の単元倍だけは変化してしまうという、不完全な不変量であった.その曖昧さを取り除くためのダイアグラムの捻り数を定義した.ここでダイアグラムとは,グラフ結び目を平面に射影した図のことである.捻り数を用いて不変量を正規化することにより、多項式環の単元倍だけは変化してしまうという,不変量の曖昧さを取り除くことができる。また,捻り数が存在するための十分条件はグラフが二重サイクル被覆をもつことである,ということを示した.また,捻り数が存在するときには,その捻り数の空間の次元が,グラフ上の2点の成すコンフィギュレーション空間の2次元スキューシンメトリックホモロジー空間のランクと一致することを示した.ところで,「橋を持たない任意のグラフは二重サイクル被覆をもつ」という命題は,二重サイクル被覆予想と呼ばれる未解決の問題である.捻り数の存在と二重サイクル被覆の存在との関係を今後明らかにすることにより,この予想の証明に迫れる可能性がある.

1.二橋結び目と呼ばれる基本的な結び目の類がある.この結び目は有理数をパラメターとして決まる.有理数を連分数展開することにより,二橋結び目のジョーンズ多項式を計算することができるが,有理数の連分数展開は一意的ではないので,有理数そのものからとジョーンズ多項式の値との関係はわかりにくい.そこで連分数展開を用いないで,二橋結び目のジョーンズ多項式を記述する方法を見いだした.これにより,ジョーンズ多項式の幾つかの性質がわかった.2.グラフ(1次元復体)を3次元空間に埋め込んでできるものを,グラフ結び目という.3正則グラフ結び目の不変量を以前定義したが,それは,多項式環の単元倍だけは変化してしまうという、不完全な不変量であった.その曖昧さを取り除くためのダイアグラムの捻り数を定義した.ここでダイアグラムとは,グラフ結び目を平面に射影した図のことである.捻り数を用いて不変量を正規化することにより、多項式環の単元倍だけは変化してしまうという,不変量の曖昧さを取り除くことができる。また,捻り数が存在するための十分条件はグラフが二重サイクル被覆をもつことである,ということを示した.また,捻り数が存在するときには,その捻り数の空間の次元が,グラフ上の2点の成すコンフィギュレーション空間の2次元スキューシンメトリックホモロジー空間のランクと一致することを示した.ところで,「橋を持たない任意のグラフは二重サイクル被覆をもつ」という命題は,二重サイクル被覆予想と呼ばれる未解決の問題である.捻り数の存在と二重サイクル被覆の存在との関係を今後明らかにすることにより,この予想の証明に迫れる可能性がある.