量子論に関連した、結び目および三次元多様体の不変量

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(1) 代表的な量子不変量である.Homfly多項式を,色付けられた平面グラフの不変量から定義することを行った.これにより,Homfly多項式を組合わせ的に定義,理解できるようになった.(2) 結び目の量子不変量のもっとも代表的なものである,ジョーンズ多項式について,研究を行った.ジョーンズ多項式は強力な不変量ではあるが,等しいジョーンズ多項式を持つ異なる結び目の例は多数知られている.しかしながら,ジョーンズ多項式の値が自明な結び目のものと一致するような,非自明な結び目の例は未だに見つかってもいないし,もちろん,存在しないことの証明もなされていない.そこで,自明なジョーンズ多項式を持つ結び目を見つけるべく,計算機を駆使して交点数の少ない方から虱潰しに調べることを行った.その結果,18交点数までの結び目にはそのようなものはない,ということが判明した.また代数結び目と呼ばれる種類のものに限ると,24交点数までにはそのようなものが存在しないことが判明した.この結果は現在投稿準備中である.(3) 量子不変量と密接な関係にある,バッシリーフタイプ(有限タイプ)の結び目の不変量についても研究を行った.バッシリーフタイプの不変量も強力な不変量であるが,どのような結び目についても,指定されたいくらでも高いオーダーまでバッシリーフ不変量が一致する異なる結び目存在することが以前から知られている.この研究においては,その存在する結び目に制限をつけて,どのような結び目についても,指定されたいくらでも高いオーダーまでバッシリーフ不変量が一致する自明化数1の結び目が存在することを示した.この結果は現在投稿中である.