幾何学における非線型問題の研究

第一の結果は、リーマン計量の共形変形に関するprescribed scalar curvatureの問題を、無限次元多様体上の汎関数に対する変分問題として扱った。この問題については直接法と呼ばれる既存の方法が通用しないことが知られていたが、本研究では、実関数論の方法を合わせて用いることにより、汎関数の最小化列の振舞いを完全に記述することができた。この結果の応用として、変分問題の定義域である無限次元多様体のlevel setの位相幾何学的性質を知ることができた。次に、上の問題の特別の場合である「山辺の問題」と呼ばれる変分問題に対し、ある種の変換群が作用している場合には、この問題の相異なる解が無限個存在することを証明した。得られた解は高々有限個を除いては全て符号を変えることが示され、結果として、解全体の集合は、今までに知られていた正値解の場合の比べて、はるかに大きいものであることがわかった。第三の結果は、球面上のSobolevの不等式と呼ばれる関数不等式に関するものである。1979年にAubinにより、球面上の関数の特別なクラスに対しては、より強い不等式が成り立つことが知られていたが、本研究では、球面上の関数への共形変換群の作用に注目し、任意の関数が、共形変換によって、Aubinの強い不等式を満たすように変形できることを示した。この結果の応用として、球面上の「山辺の問題」に対するRenormalization theoremが得られる。なお、この結果については、1993年の第一回日本数学会国際研究集会での招待講演において発表を行なった。

第一の結果は、リーマン計量の共形変形に関するprescribed scalar curvatureの問題を、無限次元多様体上の汎関数に対する変分問題として扱った。この問題については直接法と呼ばれる既存の方法が通用しないことが知られていたが、本研究では、実関数論の方法を合わせて用いることにより、汎関数の最小化列の振舞いを完全に記述することができた。この結果の応用として、変分問題の定義域である無限次元多様体のlevel setの位相幾何学的性質を知ることができた。次に、上の問題の特別の場合である「山辺の問題」と呼ばれる変分問題に対し、ある種の変換群が作用している場合には、この問題の相異なる解が無限個存在することを証明した。得られた解は高々有限個を除いては全て符号を変えることが示され、結果として、解全体の集合は、今までに知られていた正値解の場合の比べて、はるかに大きいものであることがわかった。第三の結果は、球面上のSobolevの不等式と呼ばれる関数不等式に関するものである。1979年にAubinにより、球面上の関数の特別なクラスに対しては、より強い不等式が成り立つことが知られていたが、本研究では、球面上の関数への共形変換群の作用に注目し、任意の関数が、共形変換によって、Aubinの強い不等式を満たすように変形できることを示した。この結果の応用として、球面上の「山辺の問題」に対するRenormalization theoremが得られる。なお、この結果については、1993年の第一回日本数学会国際研究集会での招待講演において発表を行なった。