幾何学に現れる非線形微分方程式

点击翻译按钮获取中文摘要

はじめに、幾何学、物理学のゲージ理論に現れるヤング-ミルズ接続について研究を行った。5次元以上のリーマン多様体上のヤング-ミルズ接続全体の集合をゲージ変換群の作用で同一視した集合をモデュライ空間というが、本研究では、多様体の次元をnとしたとき、曲率のノルムのn乗の積分が共形不変量となることに着目し、その不変量が一様有界であるようなモデュライ空間の任意の部分集合はC^∞位相についてコンパクトになることを示した。この結果についての論文は現在、投稿中である。次に、確率論における重調和擬過程について研究を行った。重調和擬過程は通常の確率過程でないため、その境界条件は今まで知られていたものとは大きく異なる。そこで、重調和擬過程に対する境界条件を設定し、これに対応する擬過程を構成し、この結果を論文として発表した。最後に、球面の稠密な領域上でのスカラー曲線0をもつ完備で共形的なリーマン計量について研究を行った。このような計量は線形楕円型方程式の解によって記述される。本研究では、その方程式が満たす変換則とポテンシャル論をもちいて、その方程式の任意の解はグリーン関数と測度によって積分表示できることを示した。この研究は、次年度以降にも継続する予定であり、クライン群の理論との関係や計算機を用いた数値解析を計画している。