Smoothing estimates for dissipative evolutions equations and applications to nonlinear problems

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(1) 津田谷公利氏（弘前大学）との共同研究で、Hubbl定数を含むFriedmann-Lemaitre-Robertson-Walker時空（FLRW時空）における非線形波動方程式およびそれを一般化した問題について、解の有限時間爆発および最大存在時間の上からの評価を与えた。もとのFLRW時空のモデルでは、パラメータの値に応じて消散項の形が効果的な場合と散乱的な場合の２つに分かれるが、これに対応して一般化した問題においても消散項の種類に応じて異なる最大時間評価が得られることを示した。また、散乱的な消散項の場合には、初期速度の積分平均が0かどうかに応じて最大存在時間が変化するという、定数系数の非線形波動方程式において知られている事実と対応する結果が得られることを証明した。(2) 池田正弘氏（理化学研究所・慶應義塾大学）、側島基宏氏（東京理科大学）、谷口晃一氏（東北大学）と共同で、２次元外部領域で２次の非線形項をもつ半線形消散型波動方程式の解の最適な最大存在時間評価について研究を行なった。２次元外部領域においてDirichlet境界条件を課す場合は、線形熱方程式の解の時間減衰が全空間の場合よりも対数オーダーの分だけ良くなることが知られている。まずは対応する線形消散型波動方程式に対しても同様の改良型減衰評価が成立することを証明した。しかし、この線形評価を単純に用いるだけでは、半線形問題のアプリオリ評価を得るには不十分である。そこで初期値に球対称性を課すことにより基本解の正値性を保証することで、解の対数重み付きのL1ノルム評価を導出し、このノルムを用いて最適な最大存在時間評価を導く解のアプリオリ評価を得ることに成功した。