パラメータを含む非線形微分方程式の解の数値的検証

涉及参数的非线性微分方程解的数值验证

基本信息

批准号：
05740134
负责人：
土屋卓也
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Ehime University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740134/
关键词：
解の数値的検証非線形微分方程式返り点分岐点

项目摘要

この研究では、1次元の有界区間上で定義されたパラメータを含む非線形微分方程式の解の検証を試みた。まず、解曲線が返り点(turnign point)を含む場合を扱った。この場合、もとの方程式は、返り点において不安定なっているので(Frechet部分が可逆でない)、もとの方程式に1次元の別の方程式を付け加え、拡大された方程式が安定になるようにすることを考えた。その拡大された方程式に対し、従来の解の検証を適応することにより、返り点の周辺での解の検証、および返り点そのものの検証をすることができるようになった。次に、分岐点(bifurcation point)の数値的検証についても、同様な手法の適応を試みた。定式化、数値計算ともうまくいったが、証明を検討している段階で、新たな問題点も見つかった。それは、分岐点の数値的検証においては、返り点の検証の際よりもう一つ余分にパラメータを導入する必要があり、そのパラメータが分岐点(の候補者)において、本当に0になっているかどうかを検証しなければならないということである。いろいろ考察した結果、この問題は、次の問題に帰着されるらしいことがわかった:代数方程式の重根の存在を"数値的に"(浮動小数点演算だけを使って)検証できるか?(そのようなアルゴリズムが存在するか?)直感的には、この問題は否定的に解決されることが予想される。しかし、厳密な証明には新たに理論を作る必要があり、今後の問題である。

在这项研究中，我们试图验证包含在一维有界间隔上定义的参数的非线性微分方程的解。首先，我们处理解决方案曲线包含转弯点的情况。在这种情况下，由于原始方程在返回点处不稳定（Frechet零件不是不可逆转的），因此我们考虑在原始方程式中添加另一个一维方程式，以使扩展的方程变得稳定。通过将常规解决方案的验证调整到此扩展的方程式中，现在可以验证返回点和返回点本身周围的解决方案。接下来，我们尝试调整类似的方法来验证分叉点。配方和数值计算都效果很好，但是在考虑证据时，也发现了新问题。这意味着，在分支点的数值验证中，必须从返回点的验证中引入另一个额外的参数，并且必须验证该参数是否确实是分支点的候选者。经过各种考虑，似乎可以从以下问题得出此问题：可以“数值”（仅使用浮点算术）来验证代数方程的根源吗？（这样的算法是否存在？）直觉，预计该问题将被负面解决。但是，为了严格的证明，需要创建新的理论，这是未来的问题。