局所体上の代数群の既約許容表現の不変量について

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今年度は、以下の結果を得た。まだ、計算を始めたばかりのものもあり、論文としてまとめることができたのは最初の一つのみである。1.Fの剰余標数が2のときのGL_2(F)の指標公式Fの剰余標数が2のときにGL_2(F)の既約許容表現の指標公式を得た。この場合には今までと違いアニソトロピックトーラスにワイルドな分岐拡大体の乗法群が現われるので全く異なるタイプの結果が得られた。この指標公式が得られたのでその応用としてSL_2(F)の指標公式を導けるはずだが、まだその計算は実行されていない。証明は、以下のように実行された。一般にGL_2(F)の主系列表現、特殊表現については指標公式は既知であるのでFの剰余標数が2のときのGL_2(F)の既約スーパーカスピダル表現について考えればよい。またジャッケ-ラングランズ対応によりGL_2(F)の既約スーパーカスピダル表現とF上の2次の可除代数Dの乗法群の次数が1より大きい既約表現がその指標が-1倍という関係で1対1に対応することが知られているので、D^xの既約表現の指標を計算すればよい。D^xの既約表現の中で今指標を計算したい表現はFのワイルドに分岐した2次拡大体Kの乗法群を含む部分群Hの1次元表現の誘導表現として得られることが分かっているので、それをFの全ての2次拡大体の乗法群に制限して現われる1次元表現を決定し、指標を計算した。ここで現われる1次元表現の重複度は高々1であるという土方の定理を本質的に用いた。但し、体Fが一般の時には結果があまりに複雑なので実際に論文にまとめたのはFがQ_2上不分岐のときのみである。2.GL_m(F)×GL_n(F)のε-ファクターGL_3(F)のスーパーカスピダル表現のホイタッカーモデルをFが1の原始3乗根を含みFの剰余標数が3でないという条件のもとで計算した。ただし、GL_m(F)×GL_n(F)のε-ファクターの計算を行なうには、m=2,n=3のときでも、まだ多くの計算を必要とする。