結び目理論におけるVassiliev不変量の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

1990年いわゆる量子群不変量をすべて含んでしまう様なVassiliev不変量が登場し、更に公理的な定義も可能となった。しかしこの不変量は、不変数の無限例という形をとり各orderがベクトル空間となり計算することさえ、たいへん困難なものである。既に研究者本人により,ある特別な性質をもつ結び目に対しては、無制限のあるところま、ですべて0の値をとってしまうことが知られている。見方をかえればVassiliev不変量を正則射影図により特微付けたともいえる。Vassiliev不変量自体、数理物理等の分野の研究により様々な解釈がなされているのであるが、結び目理論からみれば、結び目のどの様な特微をとらえているのか、研究することが重要視され、代表的な結び目に対し、どの程度情報が与えられるのかという研究が必要となる。そこで結び目に対するtwistingという操作とVassiliev不変量の関係について考察をおこなった。Twistingは補空間のswrgeryといいかえることができ,結び目の局所変形としても,代表的なものである。自明な結び目のある射影図をとり、局所的にひねりを加えていく。すると、結び目の無限列を定義することができ、Vassiliev不変量を.その無限列に制限すると、Vassiliev不変量の次元が決定でき,topologicalな情報としては,order2と3によりつくされてしまうことがわかる。このことにより,ある種のtorus kuotのVassiliev不変量が決定できたことになる。