A study of invariants and local moves for virtual knots

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2つの(仮想)結び目が局所変形で移りあうとき、移りあうために必要な局所変形の最少回数は距離の公理を満たし、(仮想)結び目の集合に距離空間の構造 を入れることができる。局所変形による(仮想)結び目の距離空間の特徴を調べることが、本研究の目的の一つである。測地線グラフとは、頂点が(仮想)結び目であり、その(仮想)結び目をあらわす頂点同士のグラフ上での距離が(仮想)結び目の局所変形での距離と一致するグラフである。測地線グラフは、(仮想)結び目の局所変形による距離空間を可視化したものであり、局所変形による(仮想)結び目の距離空間がどの程度の大きさをもつか、判断することができる。局所変形として交差交換を考える。交差交換による仮想結び目の距離空間において、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであることはすでに証明していた。前年の令和3年度の成果の１つは、仮想結び目の代表的な不変量が自明な結び目と同じ値となり、交差交換1回で自明な結び目に変形できる非自明な仮想結び目が無限個存することを示したことであった。その証明において、条件をみたす仮想結び目が無限個存在することを示すために、仮想結び目の代表的な不変量よりも、さらに分類能力が高く、かつ計算が複雑な不変量をもちいた。令和４年度の成果は代表的な仮想結び目の不変量だけでなく、令和３年度の結果を導くために用いた分類能力が高い不変量も一致し、交差交換１回で自明な結び目となる仮想結び目が無限個存在することを示した。自明な結び目からの交差交換１の距離に、不変量の観点から自明な結び目に近い非自明な仮想結び目が無限個存在するのである。