結び目と空間グラフのVassiliev不変量の研究

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結び目不変量全体を階層分けしたものがVassiliev不変量であり,order n以下のVassiliev不変量を組み合わせ的,具体的に研究するのが本研究の目的であった.任意に結び目Kと自然数nを与えたとき,order n以下のVassiliev不変量がKと一致する結び目の無限列J_i(i=1,2,...)が構成できることは既に示しており,更にJ_iの結び目型を制限していく研究を行っていた.ある性質をもつ結び目でJ_iが構成できればVassiliev不変量がその性質を情報として持ち得ないことになる.一方,結び目理論において局所変形という概念がある.結び目の図の一部を変えることであり,2つの結び目がある局所変形で移りあえばその最少回数をとり,距離の概念を入れることができる.昨年度はデルタ型,クラスプパス型の局所変形による距離を考察し,上記のJ_iを特定の結び目との距離がKのorder 2,order 3のVassiliev不変量によって決定できる結び目で構成することに成功した.今年度の主な結果の1つはその2つの局所変形を含むC_n-moveを考察し,KからのC_k-distance(k≠2,k=1,2,...,n)が1,C_2-distanceが2の結び目で無限列J_iを構成した.ここでC_k-distanceとは2つの結び目がC_k-moveで移りあうとき必要なC_k-moveの最少回数である.order 2のVassiliev不変量が同じ結び目はC_2-moveが2回以上必要であることが知られており,C_k-distanceが最少なものでJ_iが構成出来たことになる.その他絡み目のVassiliev不変量についても研究し,結び目との違いを表す結果も得ることができた.