タイプ2の双対簡約ペアのハウ予想

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本年度の研究目的はタイプ2の双対簡約ペアの中でとくに(GL(n),GL(n))と(GL(n),GL(n+1))の場合について,大域的および局所的ハウ予想を証明することであった.これについて以下の結果を得ることができた.1.(GL(n),GL(n))の場合,尖点的保型表現のクラスにおいては大域的ハウ予想が成立することが証明できた.2.(GL(n),GL(n+1))の場合,局所ハウ予想について,次を証明することができた.いまωをGL(n)×GL(n+1)のヴェイユ表現とする.このときGL(n)の既約非退化表現σに対して,GL(n+1)の非退化表現πで次のような(1)〜(4)の性質を持つものを構成することができた.(1)σ×πはωの商表現として実現される.(2)GL(n+1)の中のGL(n)×GL(1)をレビ部分群にもつ放物的部分群Pから表現σ×1を誘導して得られるGL(n+1)の表現をρとするとき,ρが既約ならばρはπの唯一つの部分既約表現である.(3)mを任意の自然数とし,τをGL(m)の任意の既約非退化表現とするとき,ジャッケ-ピアテツキシャピロ-シャライカの意味でのガンマ因子γ(s,π×τ)とγ(s,ρ×τ)は一致する.(4)σがクラス1の表現ならばπ=ρである.これらのことから,任意のσでもπ=ρとなることが期待されるが,それはまだ証明されていない.これが示されれば,局所ハウ予想の明示的対応が解ったことになる.