ASLについての研究

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多項式環を、square-freeな単項式たちによって生成されるイデアルで割った環は、Stanley-Reisner環と呼ばれる。この環は、環論的手法からだけでなく、トポロジカルな、あるいは、組合せ論な手法を用いて研究され、その環論的性質が、組合せ論にも様々に応用されてきている。Buchsbaum Stanley-Reisner環に現われるh-vectorの特徴づけに関する問題も位相多様体の三角形分割に関連して興味深い。これについて、h-vectorであるための一つの必要条件を与えた。また、低次元の場合には、その十分性についても考察した。与えられた加群に対して、その極小自由分解を構成し、Betti数列を調べることは、大切な問題である。というのは、それは、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性等の重要な環論的情報を含んでいるからである。しかし、Betti数列を計算することは難しく、Hilbert関数からわかる例以外はほとんど知られていなかった。そこで、巡回多面体およびstacked多面体に付随するStanley-Reisner環のBetti数列を具体的に与えた。また、Betti数列がStanley-Reisner環の係数体に依存するかどうかは、それを組合せ論的な公式で表そうとするさい重要な問題となる。そこで、Stanley-Reisner環の第2Betti数が係数体に依存しないことを示した。これは、Bruns-Herzogによって、最初に環論的に示されたが、Alexander双対定理を用いてトポロジカルな短い証明を与えた。一般には第3Betti数は係数体に依存するのであるが、イデアルが次数2の単項式で生成されているならば、第3及び第4Betti数も係数体に依存しないことを示した。