低次元トポロジー、特に、結び目のエネルギーの研究

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修論以後「結び目のエネルギー」について研究している。結び目のエネルギーとは、結び目の空間上に定義された実数値汎関数で、結び目が自己交差しようとすると無限大に発散するようなもので、荷電した結び目の静電エネルギーを、数学的にうまく定義したものである。この結び目のエネルギーを結び目理論、及び低次元トポロジーに応用するのが研究の主目的である。近年では特に次の問題を中心に考えている:各結び目型に、エネルギーの最小を与えるような埋め込み写像は存在するか?結び目の入る全空間かR^3で、素な結び目については、Freedman,He,Wangの結果より、肯定的に解けることが分っている。又、素でない結び目については、Kusner-JSullivanのコンピューターによる数値実験で、否定的な予想が成り立つ。私は以前、別の種類のエネルギーを用いると、先の問題は結び目型如何に依らずに肯定的に解けることを示した。今年は、結び目の入る全空間が3次元球面S^3又は3次元双曲空間H^3の場合について研究している。S^<13>の場合は全ての結び目型について肯定的に、H^3の場合には逆に全ての結び目型について否定的に解決されると予想している。数学的にちゃんと証明出来ていない段階であるので、コンピューターを用いた数値実験を行ない、作業仮説を立てている状態である。現在以下のことが分ってきた。(但し、これも数学的に証明出来た訳ではない、)R^3の結び目に対して定義されたエネルギーをS^3及びH^3の結び目に対して定義する場合、2通り方法がある。(電荷密度一定と、総電荷一定に相当する)それぞれで、エネルギーを減らす方向に結び目を動かしていった場合の挙動が異なるということが予想出来る。