フラクタル上のマルティン境界を通じての調和解析

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1996年に,Manfred Denker (Gottingen大学確率論研究所教授)と佐藤坦(九州大学名誉教授)はフラクタル幾何学で最も基本的なSierpinski gasket Sを特徴付ける語空間W_SにMarkov連鎖(X_n)^∞_<n=0>をうまく定義することにより,Sを,そのMartin境界として表現することに成功した.その証明の鍵となったのがW_S上のX_nのMartin核の完全公式を与えたことによるものであった.更に彼等は,MartinやDynkin達によって提唱されたMartin距離をS上に導入することで,木上の調和解析をW_S上の調和解析の枠組で捉えた.そこで,一般のフラクタルについてMartin境界表現が可能であるかが当然出てくる次の問題である.私は一昨年度,典型的なフラクタルの一つとして,ペンタクンPと呼ばれる正五角形から作られる自己相似集合を,Martin境界として表現することに成功した.しかしながらSは三角形,Pは五角形という,幾何学的には両者の構造の違いはあまり見えないにも関わらず,両者をp.c.f.自己相似集合として捉えた際の臨界点,及び推移確率のpath(道)が織り成すgraph構造が全く異っていた為,そこで得られた結果は実用性が高いとは言い難かった.そこで(*)P上の推移確率のpathのgraph構造の「複雑さ」の要因,特にS上のそれとの違いを追求する.を目標として,本研究を開始した.本年度に行った研究は,概ね以下の2つにまとめることが出来る.1.R^2に埋め込まれた自己相似N(N【greater than or equal】3)角形F(N)の(S=F(3),P=F(5)),言葉の空間及び文字の無限列全体に定義されるべき同値関係「〜」の構造を,再度点検整備し,Denkerが提唱したSの上の(重みを伴った)距離DがF(N)の上にも実現されるかどうかを調べた.特に,それが実現される為の必要十分条件を重みを使って具体的に記述した.更に,通常のEuclid距離とのLipschitz同値性についても言及した.この目的は,Dの解析自体に,やはり上記で述べた文字列のpathのgraph構造を考察する必要がある為,(*)に対するヒントが,何か隠されてはいないかと期待していたからである.現在論文を執筆中である.2.更に1での研究及び得られた結果を別の立場から眺めるという目的で,Koch (Gottingen大学確率論研究所,助教授)を招聘し,人間・環境学研究科の客員教授Denkerと共にMartin境界表現に依るS上の調和解析について討論し,更に一般のtree(樹木)のMartin境界表現に於けるDirichlet形式の定式化についての研究打ち合せを行った.これについても共著論文を現在執筆中である.