空間グラフのグラフホモロジー類の分類

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Kauffman, Simon, Wolcott, Zhao氏らの共著論文[Invariants of theta-curves and other graphs in 3-spaceの中で定義された空間グラフのdisk/band-曲面は,谷山氏の論文[Cobordism, homotopy and homolog of graphs in R^3]で空間グラフの同値関係として紹介されたグラフホモロジーと密接な関係があり,このdisk/band-曲面を利用して空間グラフのグラフホモロジー類の簡単な分類方法を求めることが本研究の目的であった.与えられた空間グラフに対して,その空間グラフのdisk/band-曲面全体から得られる行列(ザイフェルト行列と呼ばれる)全体の集合はグラフホモロジーの完全不変量である.つまり,このザイフェルト行列の集合を分類することは,グラフホモロジー類を分類ことと同値である.ところが,このザイフェルト行列の集合は無限個の元からなるうえに有限の表示さえもできないので,このままではいささか扱いにくい.従って私は次の2つの条件に沿ってザイフェルト行列を制限し研究を進めた.1.空間グラフのdisk/band-曲面のトポロジカルタイプを1つに固定する.2.disi/band-曲面の1次元ホモロジー群の生成系を1つ固定する.これらの条件を考慮して得られるザイフェルト行列の部分集合に対して,本研究では次の新しい結果を得ることに成功した.[定理]上で得られた部分集合は,各成分が多変数の整数係数1次式からなる行列1個で表現できる.この結果により,本研究の目標は達成されたことになる.実際,空間グラフのグラフホモロジー類の分類問題は,整数係数の連立1次方程式が整数解をもつか否かに帰着できることがこの結果からわかる.