空間グラフに含まれる結び目と絡み目の研究

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グラフGのサイクル全体の集合を{c_1,c_2…,c_n}とする.任意の埋め込みf_i:c_i→R^3(i=1,2,…,n)に対して,Gの埋め込みf:G→R^3が存在してf(ci)〃〓f_i(c_i)(i=1,2,…,n)を満たすとき,Gは順応性をもつという.グラフが順応性をもつという性質は,グラフの集合の半順序関係であるグラフマイナーに関して閉じている.すなわち,「グラフHがグラフGのグラフマイナー(G【greater than or equal】Hとかく)であるとき,Gが順応性をもつならばHも順応性をもつ.」が成立する.順応性をもたないグラフGに対し,GのG以外に任意のグラフマイナーが順応性をもつとき,Gは順応性に関する禁止グラフと呼ばれ,禁止グラフ全体の集合を順応性に関する障害集合と呼びΩで表す.この障害集合Ωは,有限集合である事がRobertsonとSeymourの結果からわかり,空集合でないという事が谷山公規氏と私の結果からわかるが,それを決定するまでには至っていない.障害集合を決定することは非常に重要な問題であり,かなりの難問である.本研究ではこの障害集合を決定するということを目標に研究を進めてきた.障害集合Ωを次の2つの部分集合Ω_0=Ω∩(平面的グラフの集合)とΩ_1=Ω＼Ω_0に分けると,本橋友江,谷山公規両氏の共同研究の結果と最近の私の研究成果を組み合わせることにより,Ω_1={K_5,K_<3,3>}が成立することがわかる.ここで,K_5は5頂点完全グラフを意味し,K_<3,3>は完全2部グラフを意味する.従って,障害集合Ωの決定はΩ_0を決定すれば解決することになる.本年度は,まず次の予想「D_n(n【greater than or equal】3)をnサイクルの各辺を2重にして得られるグラフとする.このときΩ_0={D_4}が成立する.」を立てて研究を始めた.ところが,この予想に反して,D_4は順応性をもつことがわかった.更に,Ω_0に属する幾つかのグラフが見つかった.