ストリニグ類の消滅問題について

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1次元球面S^1から単連結多様体Mへの可微分写像全体からなる空間をLMとする.単連結多様体M上のSO (n)-バンドルξ:P→MのSpin (n)構造をQ→Mとするとき,ループ群LSpin (n)-バンドルLQ→LMが考えられる.この構造群がLSpin (n)の1次元トーラスによる普遍中心拡大LSpin (n)に持ち上がるための障害としてストリング類μ(Q)∈H^3 (LM ; Z)が定義されている.評価写像ev : LM×S^1→MとS^1に沿う積分から得られる写像をD=∫_<S^1>oev^* : H^* (M)→H^<*-1> (LM)とするときストリング類は1/2p_1(ξ)(2倍してSO (n)-バンドルP→MのPontrjagin類となるコホモロジー類)のDによる像となることが知られている.従って特にH^4 (M)にねじれがない場合P→MのPontrjagin類が消えればμ(Q)=0がいえる.またMが2連結であるときDが単射になることから,結局この場合μ(Q)=0と1/2p_1(ξ)=0とは同値であることがわかる.本研究ではD : H^* (M ; R)→H^<*-1> (LM ; R)が単射になるための十分条件をH^* (M ; R)の環構造から導き,この結果をストリング類及びG-バンドルξの高次ストリング類C^p (Lξ)の消滅に関する問題に応用することを目的とした.反復積分写像によりH^* (LM ; R)をMのde Rham複体Ω^*(M)のホッホシルトホモロジーと同一視し,またΩ^*(M)の極小モデルを利用することにより次の2つの主定理を得た.「定理1.H^4 (M ; Z)がtorsion free, dimH^2 (M ; R)【less than or equal】1であるとき1/2p_1(ξ)=0とμ(Q)=0とは同値」「定理2.或る自然数2s以下の次元で,H^* (M ; R)とGCI代数Γ=Λ(y_1,…,y_l)【cross product】R[x_1,…,x_n]/(ρ_1,…,ρ_m)(ρ_1,…,ρ_mは正規列)が環として同型であるとするp【less than or equal】s-iであるときp次ストリング類C^p (Lξ)が零であるための必要十分条件はG-バンドルξのp+1次Chern類Ch^<p+1>(ξ)に対して∂Ch^<p+1>(ξ)/∂zがΓのイデアル(∂ρ_j/∂z,ρ_j,; 1【less than or equal】j【less than or equal】m)に属することである,たたしz∈{x_1,…,x_n,y_1,…,y_l}.」定理1の系としてMが複素Grassmann多様体ならばM上のSO (n)-バンドルのPontrjagin類とストリング類の消滅は同値であることがわかる.