ディフェオロジカル de Rham 理論の創発研究

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一般的な圏がQuillenのモデル圏構造を持つ場合，その圏上でホモトピー論が展開できるという恩恵がある。すなわち圏の対象に対してホモトピー不変量から分類問題を考察することが可能になる。また，Quillen, Sullivanの有理ホモトピー論は，位相空間の圏が持つモデル圏構造と次数つき微分代数が持つモデル圏構造との間の適切な随伴関手が，そのホモトピー圏の部分圏同士の間に圏同値を誘導するということを主張している。これから単連結空間を含むべき零空間のホモトピー論的分類は，完全に微分代数のそれに帰着する。Diff(ディフェオロジカル空間の圏)においてもこうした有理ホモトピー論を展開できる枠組みを構築することで，ディフェオロジカル空間(以下 diff-空間)の分類問題に貢献できると考えることは自然であろう。近年，木原浩氏(会津大学)は，圏DiffにQuillen モデル圏構造を導入し，さらにDiffと単体的集合のKan-Quillenモデル圏とのQuillen同値性を証明した。これらモデル圏構造を本研究に応用するために，研究分担者として木原氏に参画していただき，本研究課題 II 「ディフェオロジカルde Rhamホモトピー論，有理ホモトピー論的モデルの構築と応用」を進める体制を整えた。Diffのモデル圏構造とGomez-Tato--Halperin--Tanre [GHT] によるK(π, 1)空間上に媒介変数を持つ，パラメトライズド有理ホモトピー論の手法とを組み合わせることで，diff-空間の単体的集合上の有理化が得られると考えているが，まず，べき零diff-空間に対して，Diffにおける有理ホモトピー論の展開可能性を十分に検討してきた。本研究結果として，べき零diff-空間の場合は，ある程度扱いやすい局所系モデル(柔順モデル)の構成方法を手に入れることができた。