The investigation of the non-triviality of string topology in a topological quantum field theory and differentiable stacks

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ストリング作用素に関する非自明性の研究に関して，共同研究者(山口俊博(高知大学)，内藤貴仁(日本工業大学)，若月駿(学振PD,信州大学)との共同研究により大きな進展があった。Mを単連結閉多様体とする時，LMを自由ループ空間，すなわち一次元球面からMへの連続写像が作る写像空間とする。このとき，LMには定義域の回転により一次元球面が作用し，このBorelホモロジーをMのストリングホモロジーという。このホモロジーはChas-SullivanによりLie代数の構造が導入されているが，このLie積(ストリング積)の具体的な計算は，ループ積の計算に比べて必ずしも十分に行われているとはいえない。(コ)ホモロジーの係数体の標数が0である場合には有理ホモトピー論が適応できる。この枠組みにおいて，LMの簡約コホモロジー上の簡約Batalin-Vilkovisky (BV)作用素が完全であるとき，MはBV-完全と定義し，その性質を共同研究で探ってきた。一つの結果として，MがBV-完全であるときにLie積である上述のストリング積をLMのホモロジー上の(結合法則をみたす)ループ積とBV-作用素で記述する方法を確立した。その記述においては，ストリングコホモロジーとループコホモロジーをそれぞれ，Mの有理de Rham複体の巡回的ホモロジーとHochschildホモロジーに置き換えることにより，山口氏との共同研究[KY]で得られた加法的K-理論の結果に帰着させる手法が適用されている。これらの結果はプレプリント(arXiv:2109.10536 [math.AT])としてまとめられ，arXivで公開されている。[KY] K .Kuribayashi and T. Yamaguchi, On additive K-theory with the Loday--Quillen *-product, Math. Scand. 87 (2000), 5-21.