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Construction and Decomposition of Diffusion Processes

扩散过程的构造和分解

基本信息

批准号：
09640274
负责人：
TOMISAKI Matsuyo
金额：
$ 1.86万
依托单位：
Yamaguchi University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09640274/
关键词：
Sobolev inequality diffusion process Brownian Motion Dirichlet form

项目摘要

We investigated construction and decomposition of diffusion processes defined on a domain D (* R^d) whose boundary *D is of Lipschitz with H_lder cusps. *D must be locally expressed as a graph of a H_lder function and the infimum gamma of H_lder exponents must be positive. Let (epsilon, H^1 (D)) be a Dirichiet form corresponding to second order partial differential operator of elliptic type, {G_<lambda> } the strongly continu- ous resolvent on L^2 (D) assosiated with epsilon. Then (i) G_<lambda> (L2(D)*L^p (D)) * C(D), p > 1 + (d- 1)/gamma, and (ii) G_<lambda> (C_* (D)) is a dense subspace of C_* (D). Hence there exists a diffusion process M on D associated with C.This process is a reflecting diffusion process on D.The resolvent as above has a density which is continuous on D chi D off diagonal. Thus M has a transition probability density p(t, x, y) . We can obtain upper bounds of p(t, x, y), which depend on the shape of cusps. Our diffusion pro- cess M is defined on D.Applying a decompositin theorem due to M.Fukushima, sample paths of M admit a unique decomposition : martingale additive functionals and continuous additive functionals locally of zero energy. If coefficients of epsilon is of C^1 (D)-class and H_lder cusps are greater than 1/2 in addition, then continuous additive functionals locally of zero energy are of bounded variation and have Skoro- hod representations. This is an interesting property independ of dimension d. M is also a solution of a submartingale problem. We can prove that the submartingale problem has a unique solution if d = 2 and the coefficients of epsilon are of C^<1, alpha> -class.

我们研究了定义在域 D (* R^d) 上的扩散过程的构造和分解，其边界 *D 是带有 H_lder 尖点的 Lipschitz。 *D 必须局部表示为 H_lder 函数的图形，并且 H_lder 指数的下确界 gamma 必须为正。令 (epsilon, H^1 (D)) 为对应于椭圆型二阶偏微分算子的狄利切形式，{G_<lambda> } 是与 epsilon 相关的 L^2 (D) 上的强连续解算子。那么 (i) G_<lambda> (L2(D)*L^p (D)) * C(D)，p > 1 + (d-1)/gamma，并且 (ii) G_<lambda> (C_* (D)) 是 C_* (D) 的稠密子空间。因此，存在与 C 相关的 D 上的扩散过程 M。该过程是 D 上的反射扩散过程。上述分解物具有在 D × D 对角线外连续的密度。因此 M 具有转移概率密度 p(t, x, y) 。我们可以获得 p(t, x, y) 的上限，这取决于尖点的形状。我们的扩散过程 M 是在 D 上定义的。应用 M.Fukushima 的分解定理，M 的样本路径允许独特的分解：鞅加法泛函和零能量局部连续加法泛函。如果 epsilon 的系数为 C^1 (D) 级且 H_lder 尖点另外大于 1/2，则零能量局部连续加性泛函具有有界变分并具有 Skorohod 表示。这是一个有趣的属性，与维度 d 无关。 M 也是下鞅问题的解。我们可以证明，如果 d = 2 并且 epsilon 的系数属于 C^<1, alpha> 类，则下鞅问题具有唯一解。