ファインマン積分とその摂動展開から導出される幾何学的不変量の研究

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近年,いくつかの幾何学的不変量が,数理物理との関連からファインマン積分の形で導入・提案されてきた.ファインマン積分は,数学的な基礎付けが不十分であるにもかかわらず,これらの不変量は別の形で数学的な基礎付けがなされている.さらに,これらのファインマン積分には物理的に意味のあるパラメータが入っており,このパラメータに関する漸近展開からもさまざまな不変量を考えることができる.ここでは主にリーマン多様体間の写像空間上のファインマン積分を考える.すなわち定義域多様体 と値域多様体を固定し,定義域多様体から値域多様体への写像から定義される関数(主要部はこの写像のエネルギー指数関数)をこの写像空間上積分する.値域多様体が一般のケーラー多様体の場合にファインマン積分の高次摂動展開を考えることにより,Gromov-Witten不変量の一般化を導入し,さまざまな表示をえることを長期的な目標とし、平成8年度は,定義域多様体が2次元球面の場合を考えた。Gromov-Witten不変量は,擬正則曲線のモデュライ空間上の積分として、表わせるという結果が出たため(深谷-小野)、直観的には停留点法から得られるファインマン積分の値に等しいと理解できた。高次摂動展開のため、このモデュライ空間を写像空間に埋め込み、そこでの法バンドルを考える必要がある。さらに、このモデュライ空間はコンパクトではないため、コンパクト化への法バンドルの拡張が必要になる。平成8年度は、先に引用した結果の理解とこの拡張の構成に終始した。高次摂動展開には至らなかったが、そのための基礎的な枠組みの構成の見通しを得た。