ハ-ディ空間における極値問題の研究

複素単位円板D上のハ-ディ空間H^1(D)の関数fに対して、S^f={g∈H^1:f(e^<iθ>)/g(e^<iθ>)【greater than or equal】0}とおく。S^fとH^1の単位球面との共通部分は我々の研究している極値問題の解空間に他ならない。このとき、あるブラシュケ積BとH^1に属する外部関数gが存在してS^f=S^B×g_0,と表されることが知られている。ここに、g_0はS^<g0>={λ・g_0:λ>0}.を満たす強外部関数と呼ばれる関数である。このことはS^fの中でも、特にS^Bを研究することの重要性を示している。当研究では、ブラシュケ積の零点の集積点の集合sing(B)が、sing(B)∩{e^<iθ>:c_0【less than or equal】θ【less than or equal】c_1}={e^<ic0>,e^<ic1>}を満たすとき、扇形領域Δ_0={re^<iθ>:0<r【less than or equal】1, c_0<θ<(c_0+c_1)/2}, Δ_1={re^<iθ>:0<r【less than or equal】1, (c_0+c_1)/2<θ<c_1}におけるg∈S^Bの零点の分布を研究し、次の様な興味深い結果を得た。1. BのΔ_jにおけるe^<icj>(j=0,1)への収束の次数がσ>1であれば、S^Bに属する任意の関数gのΔ_jにおける零点の集合は同じ収束の次数σでe^<icj>に収束する。2. BのΔ_jにおけるe^<icj>への収束の次数が1以下なら、S^Bに属する任意の関数gのΔ_jにおける零点の集合は1以下の収束の次数でe^<icj>に収束する。以上の結果は、我々の研究対象である極値問題の解空間に属する関数の零点の分布には強い秩序が存在することを示唆している。このことはBが有限ブラシュケ積のときにはよく知られていることである。今回の成果はそれが一般の場合にも拡張されることの可能性を示し、更にはfの零点の分布の研究が極値問題の解空間S^fをよく深く研究する重要な手段となりうることに対する期待を抱かせるものである。

複素単位円板D上のハ-ディ空間H^1(D)の関数fに対して、S^f={g∈H^1:f(e^<iθ>)/g(e^<iθ>)【greater than or equal】0}とおく。S^fとH^1の単位球面との共通部分は我々の研究している極値問題の解空間に他ならない。このとき、あるブラシュケ積BとH^1に属する外部関数gが存在してS^f=S^B×g_0,と表されることが知られている。ここに、g_0はS^<g0>={λ・g_0:λ>0}.を満たす強外部関数と呼ばれる関数である。このことはS^fの中でも、特にS^Bを研究することの重要性を示している。当研究では、ブラシュケ積の零点の集積点の集合sing(B)が、sing(B)∩{e^<iθ>:c_0【less than or equal】θ【less than or equal】c_1}={e^<ic0>,e^<ic1>}を満たすとき、扇形領域Δ_0={re^<iθ>:0<r【less than or equal】1, c_0<θ<(c_0+c_1)/2}, Δ_1={re^<iθ>:0<r【less than or equal】1, (c_0+c_1)/2<θ<c_1}におけるg∈S^Bの零点の分布を研究し、次の様な興味深い結果を得た。1. BのΔ_jにおけるe^<icj>(j=0,1)への収束の次数がσ>1であれば、S^Bに属する任意の関数gのΔ_jにおける零点の集合は同じ収束の次数σでe^<icj>に収束する。2. BのΔ_jにおけるe^<icj>への収束の次数が1以下なら、S^Bに属する任意の関数gのΔ_jにおける零点の集合は1以下の収束の次数でe^<icj>に収束する。以上の結果は、我々の研究対象である極値問題の解空間に属する関数の零点の分布には強い秩序が存在することを示唆している。このことはBが有限ブラシュケ積のときにはよく知られていることである。今回の成果はそれが一般の場合にも拡張されることの可能性を示し、更にはfの零点の分布の研究が極値問題の解空間S^fをよく深く研究する重要な手段となりうることに対する期待を抱かせるものである。