ハ-ディ空間における極値問題の研究

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今回研究対象としている極値問題は、ハ-ディ空間H^1(D)(Dは複素平面の単位円板)の単位球が超平面と接する部分の構造を精密に調べることである。その様な部分が関数uを含むときは、その構造はuによって一意に決まるので、それをS_uで表すことにする。S_uに属する関数の構造を明らかにし、その全ての関数を描くことは、S_uの生成する線形空間の次元<S_u>が有限次元のときは、T.Nakazi(1983)により、完全に満足すべき結果が得られている。それは、S_uに属する関数が単位円板D内に持つ零点を用いて因数分解した形で表されるものである。<S_u>が無限次元のときは、E.Hayashi(1985-86)により解かれている。この結果は一応S_uに属する全ての関数を表現するもので、ヒルベルト空間H^2(D)の議論に問題をもちこんで調べる方法により作用素論への貢献にもなってい。しかし、T.Nakaziのdim<S_u><∞>の場合のようなf∈S_uのとき、fがD内で持つ零点を用いて因数分解した形の表現とは結びつかなくなっていて、その点ではまだ重要な研究の余地があると思われる。今回の研究では、dim<S_u>=∞の場合にも、S_uに属する関数がD内で持つ零点の状態で特徴づけられ、零点を用いた因数分解の形で表現する方向を試み、S_uの関数の持つ零点の集合がDの境界の1点のみに集積するような特殊な場合ではあるが、一定の成果をあげ、一部分は平成6年11月の実解析セミナーで報告をした。この特殊な場合の研究がが完全に成功すれば、一般の場合にも成功する可能性は大きい。近々、この成果をもとめ、論文として公表する予定である。