非線形振動理論の研究

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中立型関数微分方程式の解の振動行動を決定するために,解空間の構造を解析した。高階の微分作用素と差分作用素を主要部として持つ中立型関数微分方程式の摂動項が定符号の場合,すべての非振動解は,その漸近行動でクラス分けする事ができる。すべての非振動解のクラスについて,空集合となるための必要十分条件が得られれば,それらを組み合せる事によって,方程式のすべての解が振動するための必要十分条件を得る事ができる。まず,非振動解のクラス分けであるが,差分微分作用素の逆作用素としての和分積分作用素を適切に設定する必要がある。本研究の特色である,代数,幾何および解析の広い分野の手法を用いる事により,これらの作用素の持つ基本的な性質について,かなりの部分が明らかにされた。さらに,ある種の漸近行動を持つ関数空間にこの和分積分作用素を施して得られる空間についても,代数的,位相的および解析的な性質が明確になった。次いで、各々のクラスに属する解の存在性である。これを解明するには,差分微分方程式を適当な和分積分方程式に変形し,うまく設定された関数空間の中の不動点として,解を構成する必要がある。この部分についても新たな知見が得られ,非振動解が存在するための十分条件が確立された。今後の研究では,非振動解が存在するために必要条件を解析する事により,上記の中立型関数微分方程式の振動理論を構築する予定である。