フラクタルにおける等方性の漸近的回復

分形各向同性的渐近恢复

• 批准号: 08640252
• 负责人: 服部 哲弥
• 金额: $ 0.32万
• 依托单位: Rikkyo University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640252/
• 关键词: ディリクレ形式; フラクタル; 漸近一次元拡散; 非等方性; くりこみ群; 電気抵抗回路; シルビンスキーカーペット; infinitely ramified fractal

本研究の目的は,フラクタル特にSierpinski carpetに代表されるinfinitely ramified fractals.の上の非等方拡散の等方性の回復を調べることであった。この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogeniz ationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られていたが,infinitely ramified fractalsでは問題が格段に難しくなる.Fini tely ramified fractalsと同様,infinitely ramified fractalsでも等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題であるので,パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とした。前フラクタル図形(最小単位を持ち,拡大する方向に自己相似な図形)の一つ,pre-Sierpinski carpetの上の非等方拡散を考える.この拡散の漸近的性質を特徴づける有効抵抗は,非等方拡散の場合はx軸方向とy軸方向で異なり,その比が非等方性を測る一つの重要な量となる.Pre-Sierpinski carpetをSierpinski carpetに近づけていくときの有効抵抗の比が漸近的に有界であることを本研究で証明し,これによって,等方性の弱い意味での回復が証明できた.証明は,フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして,問題を再帰不等式に帰着させて完成した.この再帰不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで証明した。より簡単な境界条件に対応する二つの調和関数を適切に組み合わせて,本来問題となる境界条件に対応する変分問題の試行関数を得た。

The purpose of this study is to modify the isotropy of the Sierpinski carpet on behalf of the infinitely ramified fractals. This problem is the problem of dispersion and homogenization. The essential elements of the problem are known. The important problems are known. The final ramified fractions are related to the problem. The results are obtained. The final ramified fractions are identical. The final ramified fractions are identical. The present point is difficult to solve, and the problem is gradually evaluated (weak means equal to square). A pre-Sierpinski carpet is a non-uniform carpet. The asymptotic property of the dispersion is characterized by the existence of an effective resistance and the non-isotropy of the dispersion in the x axis direction and the y axis direction, and the ratio of the isotropy is measured as an important quantity. Prove that the similarity of the characteristics of the problem is generated, and the inequality is completed. This inequality has been proved to be effective in solving problems. For example, if the boundary conditions are different from each other, the harmonic relationship between the boundary conditions and the original problem can be properly combined.

项目成果

T.Hattori: "Anisotropic random walks and the asymptotically one-dimensional diffusions" Journal of Statistical Physics. (発表予定). (1997)

T.Hattori：“各向异性随机游走和渐进一维扩散”统计物理学杂志（即将出版）。

M.T.Barlow: "Weak homogenization of anisotropic diffusion on pre-Sierpinski carpet" Communications to Mothematical Physics. (発表予定). (1997)

M.T. Barlow：“前谢尔宾斯基地毯上的各向异性扩散的弱均匀化”《数学物理学通讯》（即将发表）。