単調回帰問題における位相解析的方法

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研究計画に従って、研究代表者および研究分担者が研究を進めた結果、得られた成果を、進行中のものも含めて報告する。1.一般化された単調回帰問題においては、無限次元空間上の最適化理論が必要になる。これについて、研究代表者らは、以前、数理統計学に必要な範囲で凸計画法の一般論を定式化し、統計的諸問題への応用を試みたが、さらに単調回帰問題に適用しやすいように、理論を特殊化して、最適な回帰関数の特徴付けを試みた。2.従来、単調回帰問題に適用されているR^Mでの双対理論を、L^Pでの双対理論と一般の単調回帰問題の関係に一般化し、双対性から得られる結果に基づいて最適解を構成する方法について研究した。3.具体的な問題に研究結果を応用するためには、計算機を用いるシミュレーションやアルゴリズムに基づく計算法の開発も必要になる。そのため、R^MのときのPAVA法などに相当するアルゴリズムを無限次元の場合の逐次近似的なアルゴリズムに一般化することを研究した。L^2の場合には、一応の結果が得られたが、一般のL^Pの場合にはまだ解決すべき問題があり、今後引き続き検討したい。4.本研究には、関数空間における双対理論や、凸解析における幾何学的方法も必要になる。そのため、研究分担者らは、それぞれの専門の立場から本課題について検討し、研究の遂行に協力した。以上のように、本研究は、まだ引き続き検討すべき問題が残っているが、一応の中間的成果が得られた。