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共形不変形を持つ幾何学的変分問題の可積分系による解法について

利用可积系统求解具有共形不变性的几何变分问题

基本信息

批准号：
10640065
负责人：
落合卓四郎
金额：
$ 1.98万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至 2000
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10640065/
关键词：
微分幾何学大域解析極小曲面変分問題微分幾何大域解折

项目摘要

研究代表者の落合は、3次元ユークッリド空間内の閉じた曲面が共形不変性を持つ幾何学的変分問題(平成10年度に研究)の解であり、かつ群の作用を許す場合の研究を常微分方程式の分岐理論の立場から研究した。結果として、球面から変形してゆき、分岐する例を構成できた。研究分担者の今野は、今年度は非可換群による超ケーラー商の研究を始めた。手始めとして、最も単純と思われる具体例を考察した。すなわち、複素直線の余接空間には、超ケーラー構造が入ることが知られているが、その直積のSO(3)による超ケーラー商のコホモロジー環を決定した。この空間は、複素直線の直積のSO(3)によるシンプレクテイック商(多角形のモジュライ空間とよばれる。)を半分次元の部分多様体として含んでいるが、可換群の場合と同様に、コホモロジー環は、超ケーラー商の方がより単純であった。さらに多角形のモジュライ空間はあるパラメータをもっていて、そのパラメータに応じてトポロジーが変化するが、超ケーラー商の部分空間として見ると、その変化の様子が大域的に記述される研究分担者の藤岡はこれまでの研究から続くような形で,可積分系理論的なアプローチから曲面の微分幾何についての研究を行った.ユークリッド空間内の平均曲率一定曲面(CMC surfaceと略す)は,平均曲率が0でない場合,古くから可積分系理論の分野で知られているsine-Gordon方程式として記述される.ユークリッド空間内のCMC surfaceの自然な一般化としてBonnet曲面(局所的に非自明に等長的に変形できる曲面)やharmonic inverse mean curvature surface(平均曲率の逆数が調和関数となる曲面,以下,HIMC surfaceと略す)とよばれるものが定義される.これらの曲面族は曲率線に沿った等温座標系がとれる,isothermicとよばれる条件の下で,Hazzidakis方程式とよばれる常微分方程式によって記述されるが,この方程式は可積分系理論の分野で良く知られているPainleve方程式として記述されることが最近になってBobenko-Eitnerにより示された.Bonnet曲面やHIMC surfaceは定値計量とは限らない3次元空間形内の曲面に対しても定義される.そこで,不定値計量をもつ3次元空間形内の時間的なHIMC曲面について考察し,それに対するLax方程式やその解から曲面をあたえる公式である,immersion formulaを求めるといった,定値計量をもつ空間形内のHIMC surfaceと同様の性質について調べる他,時間的な曲面特有の現象についても調べた.

The research representative is No Ochiai, and the problem of geometric division of closed surfaces in three-dimensional space with conformal inconsistency and geometry (Heisei 1 0 year に research) の solution であり, かつ group の role を Xu す occasion の research を ordinary differential equations の bifurcation theory の position から research した. Result として, spherical から変shaped してゆき, bifurcation する Example を constitute できた. The person who shared the research responsibility is Konano Kazuo, and this year's non-replaceable group, Kazuo Kazuo, is the research partner for this year's group. The hand is the first one, and the most simple one is the concrete example of the investigation.すなわち, complex element straight line のcontinuous space には, super ケーラーstructure が入ることが知られているが、そのDirect productのSO(3)による超ケーラー商のコホモロジー环をdeterminationした.このspaceは、Direct product of complex prime line SO(3)によるシンプレクテイックquotient (polygonal spaceとよばれる.)をHalf fraction Yuan's part of the multi-body system contains the same system, and the group can be exchanged for the same situation. . Polygonal polygonal space はあるパラメータをもっていて、そのパラメータに応じてトポロジーが変化するが, 超ケーラー商のpartial space として见ると, その変化の様子が大区に记される Research Shared by のFujioka はこれまでの Research から続くようなshapedで, なアプローチ of Integral System Theory Differential geometry research on curved surfaces. Surfaces with constant average curvature in space (CMC) The surface is slightly different, the average curvature is 0, the case is the case, the ancient theory of integral systems is not knownられているsine-Gordon equation として description される.ユークリッドCMC within the space surfaceのnaturalなgeneralizedとしてBonnet surface(a non-self-evident にequal-length に変-shaped できるsurface)やharmonic inverse mean curvature surface(mean curvatureのinverse numberがharmonic off numberとなるsurface, below, HIMC surfaceと slightly)とよばれるものがDefinitionされる.これらのsurface familyはcurvature lineにalongったisothermal coordinate systemがとれる, isothermic とよばれる condition の下で, Hazzidakis equation とよばれる ordinary differential equation によって description されるが, このequation は Integral system theory の分野で好く知られているPainleve equation としてDescription されることが Recently になってBobenko-Eitner により Show された. Bonnet surface HIMC surfaceはdefinite value measurementとはlimitらないcurved surfaceに対してもDefinitionされる.そこで,indefinite value measurementをもつ3-dimensional space shapeのHIMC surface について investigation し, それに対するLax equation やそのsolution から surface をあたえる formula である, immersion formulaをfindingめるといった,definite value measurementをもつspace formのHIMC surfaceと Same様のpropertyについてtunedべるhim, timeなsurface unique phenomenonについてもtunedべた.