非線形シュレディンガー方程式の局所解に対する平滑化効果について

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1.現在非線形シュレディンガー方程式の局所解に対する平滑化効果すなわち初期値問題における解の微分可能性が初期値のそれよりも増大する現象を研究している。シュレディンガー方程式は広義双曲型方程式に分類されかつ放物型方程式を特徴付ける性質である平滑化効果も現れるという"境界"の方程式である。よって方程式の解がどのような平滑化効果を示すか調べる事には意義がある。斉次方程式の場合の平滑化効果に関する結果は出尽くした感があるが、非斉次項の評価はまだ改良の余地がある。評価をする際、摂動項の微分と試験関数とのL^2(R^<n+1>)内積を計算するのだが、このとき自由シュレディンガー群e^<-isΔ>をユニタリ作用素として考えるのではなく、時空の可積分空間L^∞(I; L^2)におけるe^<-itΔ>の共役作用素(正確には積分作用素の核)として考えるということである。これにより、摂動項に課せられる条件が弱められるはずである。この問題に関してジョンズホプキンス大学のクリストファー・ソッゲ教授より有益な情報を得て、現在論文作成中である。2.その"境界"を調べるため放物型方程式である複素ギンツブルグ-ランダウ方程式(CGL)の非粘性極限、つまりCGLにおけるラプラシアンの係数の実部を0に収束させた場合のCGLの解の収束性を島根大学の町原秀二氏と共同で調べている。昨年はその収束のオーダーに関する結果を得たが、現在は爆発に関して調べている。CGLをシュレディンガー方程式に熱方程式の効果が作用した物と考える事によって、非線形シュレディンガー方程式の大域存在、解の爆発の結果よりもいい結果が得られると考えられる。現在論文作成中である。3.ポテンシャルを持つ非線形シュレディンガー方程式についてフランス、ボルドー大学のRemi Carles氏と共同研究中である。昨年はポテンシャルが空間変数に関して線形の場合、すなわち空間遠方で互いに異符号の無限大に1次の増大度で発散するポテンシャルを取り扱ったが、現在は増大度が2以下の場合を考えている。これによりポテンシャルの影響がどの程度非線形方程式の解の存在に影響するかが解明できる。現在論文作成中である。