円板上の同相写像から定まる、三次元球面上の流れの周期軌道のなす絡み目について

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・一般に、円板上の同相写像fの周期軌道から、恒等写像とfを結ぶアイソトピーを経由することによって組みひもが得られる。このようにして得られる組みひもは、periodic, reducible, pseudo-Anosovの3つのタイプに分類される。組みひもがpseudo-Anosov成分をもつreducibleタイプかpseudo-Anosovタイプであることが判定できれば、もとの同相写像の複雑さの情報(周期軌道や、位相的エントロピーなど)が得られるため有効である。一方Boylandによって、周期軌道から得られる組みひもの集合には半順序構造が入ることが示された。組みひもの半順序構造を調べることは、周期軌道がどのような順序で出現するのかという問題に関連する。本研究では、pseudo-Anosov typeの組みひものある族を与え、その族に属す組みひもの間に成り立つ半順序関係を示した。この研究の結果は以下の論文に述べ、現在投稿中である。The forcing relation on periodic orbits of pseudo-Anosov braid types for disk automorphisms・(K.Ichihara, K.Motegiとの共同研究)円板上の組みひもbから自然に球面上の組みひもb^^^が定まる。bがpseudo-Anosov typeである場合に、b^^^もまたpseudo-Anosov typeになることは明らかではない。本研究では、円板上の組みひもとしてpseudo-Anosovであるが、球面の組みひもとしてはperiodicになるもの、reducibleになるもの、pseudo-Anosovになるものをそれぞれ無限個の具体例を構成した。この結果については、現在論文を準備中である。