Deligne cohomologyを用いたChern-Simons理論の研究

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多様体に群作用がある状況で、(滑らかな)Deligneコホモロジーを同変に拡張したもの(同変Deligneコホモロジー)を系統的に詳しく調べた。これは、Brylinskiによる接続付き同変gerbeの研究の中にあるアイデアをもとにして、単体多様体上の層コホモロジーとして定式化したものである。得られた結果は次の通りである。1.同変Deligneコホモロジーを与える3重複体に付随したスペクトル系列を調べた。その結果、整係数同変コホモロジー及び通常の滑らかなDeligneコホモロジーが、同変Deligneコホモロジーとどのような関係にあるかを正確に知ることができる。この結果、例えば、接続つきの複素直線束やgerbeに群作用が持ち上がるための障害類や、持ち上げ方がどれくらいあるか等を、スペクトル系列の情報から読み取ることができる。2.同変Deligneコホモロジーから、同変de Rhamコホモロジーヘの順同型写像を構成した。これは、同変Deligneコホモロジーから別のコホモロジーへの写像を二つ組み合わせることで得られる。一つは、同変Deligneコホモロジーを定義する3重複体から来る写像である。もう一つは、単体多様体上の層の短完全系列から来るものである。3.Lerayスペクトル系列を用いることで、同変Deligneコホモロジーと群作用による商空間上の層コホモロジーとを関係付けることができる。一般に、ここで得られた商空間上の層コホモロジーを解析するのは困難である。しかし、同変Deligneコホモロジーが通常の同変コホモロジーに一致している場合は、比較的容易に理解できる。その結果、かつてBrylinskiが幾何的な方法で構成したコホモロジーの完全系列を一般化したものが得られた。