代数多様体の数論幾何とL関数の特殊値に関する研究

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私の研究の目標は,局所体上の多様体のコホモロジーから定まるガロワ表現の性質を調べることである.特に,ガロワ表現に関する重要な予想であるウェイト・モノドロミー予想に取り組んできた.これは,ガロワ表現に定義されたウェイト・フィルトレーションとモノドロミー・フィルトレーションが次数のずれを除いて一致するという予想であり,幾何学的にも数論的にも重要なものである.昨年度までの研究において,私は,ドリンフェルト上半空間によるp進一意化を持つ多様体に対してこの予想を証明することができた.そこで,今年度は,まずドリンフェルト上半空間やその被覆空間の幾何学の詳細な研究を行った.そして,ドリンフェルト上半空間上に構成されたアーベル多様体の族の幾何学的な様子を詳しく調べることで,p進一意化を持つ多様体の係数付きコホモロジーに対するウェイト・モノドロミー予想が,定数係数の場合とほぼ同様に扱えることが分かった.また,これ以外にも,一般の多様体のコホモロジーの研究を行い,モノドロミーが極大巾単の場合や,ウェイト・フィルトレーションの長さが最大のときに,ウェイト・モノドロミー予想を示すことができた.この結果に,シュナイダーとシュトゥーラーによるドリンフェルト上半空間のコホモロジーの計算結果を組み合わせることで,p進一意化を持つ多様体に対するウェイト・モノドロミー予想の別証明が得られた.また,数論幾何においては,志村多様体と呼ばれる種類の多様体のコホモロジーを研究することが極めて重要であるが,この結果をある種の志村多様体に適用することで,保型形式とガロワ表現の深い関係を表すラングランズ対応への応用も得られると期待される.