Discrete integrable systems and Diophantine problems

本研究課題では、状態遷移が離散的な系である離散可積分系を代数多様体の有理点と結びつけることでディオファントス問題に応用する。また、ディオファントス問題に関する数論の知見を応用して離散可積分系の性質の解明に挑戦する。従来は別々の研究対象として考えられていた離散可積分系とディオファントス問題を、一つの数学的対象・現象の異なる側面としてとらえて研究を進める。本年度はソモス型と呼ばれる具体的な漸化式で定まる数列と、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体の有理点の関係について研究を行った。カンターの等分多項式の性質を応用することで、特別なパラメータのソモス型数列に対し、その法p周期と有限体上の有理点の周期の間の関係を示すことができた。この結果は、楕円可除列(elliptic divisibility sequence)と呼ばれる数列と楕円曲線の有理点の関係の種数2類似と考えることができる。本年度の研究により、超楕円曲線の等分多項式は、ソモス型数列よりも多くの情報を持っていることが明らかになった。幾何的な研究をさらに進めるには、離散可積分系に付随するラックス対から定まる代数曲線上の連接層を計算する必要があると考えられるため、次年度も継続して研究を行う。また、前年度の研究で観察された、アーベル多様体を用いても現時点では説明できない性質を持つソモス型数列については、追加で数値実験を行うなど、継続して研究を行った。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度もさらに継続して研究を行う予定である。

本研究課題では、状態遷移が離散的な系である離散可積分系を代数多様体の有理点と結びつけることでディオファントス問題に応用する。また、ディオファントス問題に関する数論の知見を応用して離散可積分系の性質の解明に挑戦する。従来は別々の研究対象として考えられていた離散可積分系とディオファントス問題を、一つの数学的対象・現象の異なる側面としてとらえて研究を進める。本年度はソモス型と呼ばれる具体的な漸化式で定まる数列と、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体の有理点の関係について研究を行った。カンターの等分多項式の性質を応用することで、特別なパラメータのソモス型数列に対し、その法p周期と有限体上の有理点の周期の間の関係を示すことができた。この結果は、楕円可除列(elliptic divisibility sequence)と呼ばれる数列と楕円曲線の有理点の関係の種数2類似と考えることができる。本年度の研究により、超楕円曲線の等分多項式は、ソモス型数列よりも多くの情報を持っていることが明らかになった。幾何的な研究をさらに進めるには、離散可積分系に付随するラックス対から定まる代数曲線上の連接層を計算する必要があると考えられるため、次年度も継続して研究を行う。また、前年度の研究で観察された、アーベル多様体を用いても現時点では説明できない性質を持つソモス型数列については、追加で数値実験を行うなど、継続して研究を行った。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度もさらに継続して研究を行う予定である。