The arithmetic and moduli of hyper-Kaehler varieties via non-archimedean methods

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本研究課題の目的は、近年大きく発展している非アルキメデス幾何の手法を研究して、超ケーラー多様体やそのモジュライ空間の構造の研究を行い、数論・代数幾何・数理物理などの様々な分野の問題に応用することである。この目的のため、昨年度に引き続き、本年度も研究集会やセミナーを開催して、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体に情報収集・情報交換を行った。感染症の状況が改善してきたため、対面での打ち合わせを中心に行うことで、研究を効果的に進めることができた。本年度は、超ケーラー多様体の退化についての微分幾何的な研究を行った。また、超ケーラー多様体上の代数的サイクルや、非アルキメデス局所体上の退化族のモノドロミーについての研究を行った。有限体上のK3曲面に対するテイト予想の先行研究を踏まえると、より一般の超ケーラー多様体で同様の結果を得るには周期写像の非アルキメデス幾何的理解が重要であると考えられるので、複素数体上の周期写像の研究成果についての情報収集をより積極的に行い非アルキメデス類似についての研究を進めた。退化族のモノドロミーについては、複素数体上の計算は複素解析的・リー環論的な技術を用いるものであり、同様の手法は混標数や正標数の非アルキメデス局所体では適用できない。そこで、久賀-佐武アーベル多様体を補助的に使うことで困難を乗り切れると考え、アーベル多様体を経由したモノドロミー作用素の計算を行った。これらの研究を進めるために、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体の関連分野についての知識・技能を持つ大学院生を複数名研究補佐員として雇用して研究に従事させ、専門的知識を提供させた。セミナーの参加者も増えており、充実した研究活動を行うことができた。