非線形方程式に対する精度保証付き数値計算法に関する研究

非线性方程精度保证的数值计算方法研究

• 批准号: 13780256
• 负责人: 中谷 祐介
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13780256/
• 关键词: 精度保障付き数値計算; 非線形方程式; Krawczykの方法

計算機により数値計算を行う際に発生する誤差を考慮し,数学的に厳密な意味での解の誤差を検証することにより,得られた解の精度を保証する研究が,精度保証付き数値計算と呼ばれ近年活発に行われ,成果を挙げている.例えば線形連立方程式に関しては,IEEE標準754にもとづく浮動小数点演算を用いることで,n次元の方程式に対して2n^3/3の計算量で方程式の近似解を求めさらにその精度保証を行える,高速精度保証法が提案されている.非線形方程式f(x)=0に関しては,解の存在を示す手法として,Krawczykの方法と呼ばれる有効な手法がある.この手法は,区間包囲による精度保証技法の代表的なものであり,導関数f´の区間包囲を利用し,簡易ニュートン反復に対して縮小写像の原理の成立を確かめる手法である.本研究は,このKrawczykの方法を用いて非線形方程式の解の存在検証を行う高速な精度保証付き数値計算法を確立することを目的として進めてきた.Krawczykの方法により非線形方程式の解の存在検証を行う場合,解の存在検証を行う領域XからKrawczyk作用素K(X)を計算し,K(X)⊂Xの成立を確認することにより,解の存在性が示される.このとき,K(X)の計算には(行列)×(行列)の計算が現れるため,計算量が増大する原因となる.そこで,これを避けるために,ある行列Lを掛けたLK(X)を計算することにより線形連立方程式に帰着させ,これを前述の高速精度保証法により計算し,K(X)の値を求める.これにより,IEEE754にもとづいた浮動小数点演算を用いて精度保証を行うことにより,Krawczyk作用素K(X)をそのまま計算した場合の計算量が5n^3であるのに対し,本研究での手法では2n^3/3の計算量で済むことが示された.また,この手法を数値計算パッケージMatlabを用いて実装し,具体的な非線形方程式の解の存在検証を行い,その有効性を確認した.

Computer calculation error is considered, mathematical precision means solution error is proved, the accuracy of solution is guaranteed, the calculation error is calculated in recent years. For example,IEEE Standard 754 provides a method for calculating floating decimal points in a linear equation with n dimensions. The approximate solution of the equation can be obtained by calculating 2n^3/3 quantities. The non-linear equation f(x)=0 is related to the existence of a solution. Krawczyk's method is called a solution. This technique is representative of the accuracy assurance technique of interval envelope, and the accuracy assurance technique of interval envelope of guide number f is representative of the accuracy assurance technique of interval envelope. In this paper, Krawczyk's method is used to establish the existence model of the solution of the non-linear equation.Krawczyk's method is used to establish the existence model of the solution of the non-linear equation.Krawczyk's method is used to establish the existence model of the solution of the non-linear equation. Krawczyk's method is used to calculate the Krawczyk's action element K(X). The calculation of K(X) is (column)×(column). K (X) is calculated by the method of high speed accuracy. For example, the IEEE754 floating decimal point algorithm is used to ensure the accuracy of the calculation. For example, the Krawzyk operator K(X) is calculated in 5n^3. For example, the method of this study is 2n^3/3. This method is used to calculate the numerical value of Matlab, and the existence and validity of the solution of the non-linear equation are verified.

项目成果

中谷祐介: "非線形方程式に対する精度保証付き数値計算法"日本シミュレーション学会第20回シミュレーション・テクノロジー・コンファレンス発表論文集. 261-264 (2001)

Yusuke Nakatani：“非线性方程保证精度的数值计算方法”日本模拟学会第20届模拟技术会议论文集261-264（2001）。