多項式写像の特異点の幾何学

平面曲線の中で重要なクラスのひとつに、いわゆるトーラス型と言われるものがある。定義多項式は$f_{d/p}^p+f_{d/q}^q=0$の形で一般的にはpqカスプを$d^2/pq$持ち、アレクサンダー多項式は$r=gcd(p、q)$として$(t^{pq/r}-1)^r(t-1)/(t^p-1)/(t^q-1)$であることが知られているが、われわれはこれを一般的でない際極端な場合、すなわち、二つの曲線$f_{d/p}=0$と$f_{d/q}=0$が一点で交点数$d^2/p/q$で交わる場合を研究し、$p=q$の場合を除けばアレクサンダー多項式は$r=gcd(p、q)$が$(t^{pq/r}-1)^r(t-1)/(t^P-1)/(t^q-1)$となることを示した。計算にはArtal, Loeser-Vaquieの結果を巧妙に使う。その応用として、任意のkに対してザリスキーk対を構成することができる。この結果はB.Audoubert, Nguyen, C.T and Oka、M : On Alexander polynomial of torus curvesにまとめ現在投稿中である。

平面曲線の中で重要なクラスのひとつに、いわゆるトーラス型と言われるものがある。定義多項式は$f_{d/p}^p+f_{d/q}^q=0$の形で一般的にはpqカスプを$d^2/pq$持ち、アレクサンダー多項式は$r=gcd(p、q)$として$(t^{pq/r}-1)^r(t-1)/(t^p-1)/(t^q-1)$であることが知られているが、われわれはこれを一般的でない際極端な場合、すなわち、二つの曲線$f_{d/p}=0$と$f_{d/q}=0$が一点で交点数$d^2/p/q$で交わる場合を研究し、$p=q$の場合を除けばアレクサンダー多項式は$r=gcd(p、q)$が$(t^{pq/r}-1)^r(t-1)/(t^P-1)/(t^q-1)$となることを示した。計算にはArtal, Loeser-Vaquieの結果を巧妙に使う。その応用として、任意のkに対してザリスキーk対を構成することができる。この結果はB.Audoubert, Nguyen, C.T and Oka、M : On Alexander polynomial of torus curvesにまとめ現在投稿中である。