ホモトピー代数とK-理論の大域的研究

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まず、去年度に引き続き四元数体上のStiefel多様体のLusternik-Schnirelmannカテゴリーの研究を行った。去年度は連結KO-理論を用いることによりLusternik-Schnirelmannカテゴリーを評価したが、今年度はその評価に必要な部分を連結KO-理論から抽出して得られる一般コホモロジー論を用いて評価した。具体的には、球スペクトラムの3次以上の安定ホモトピー群を殺して得られるスペクトラムで表現される一般コホモロジー論を考えた。これにより去年度よりも明らかな評価の証明が得られた。次に、位相群上の自由ループ空間であるループ群の分類空間のコホモロジーについて研究した。ループ群の分類空間のコホモロジーを求める既存の方法としてSerreスペクトル系列とEilenberg-Mooreスペクトル系列を用いるものが挙げられる。しかし、前者は環構造が求めにくく、後者はそもそもの計算が複雑な上、もし計算できたとしてもコホモロジーの元の幾何学的意味が不明である。これらの方法とは違い、私は内部コホモロジー懸垂という写像を定義しループ群の分類空間のコホモロジーを求めた。この写像が閉道空間に制限するとコホモロジー懸垂になることを示した。これにより特別な場合にはLeray-Hirschの定理を用いることができ、ループ群の分類空間のコホモロジーが求められる。さらに、内部コホモロジー懸垂には様々な性質があり、それらによりループ群の分類空間のコホモロジーをSteenrod代数で求められる。実際、U(n),Sp(n),SO(n)のループ群の分類空間のコホモロジーをSteenrod代数上で求め、その応用も得た。